Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

（1）解：∵函數(shù)y=（x＞0，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過A（1，4），
∴m=4．
∴y=，
設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，據(jù)題意，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，），
∵a＞1，
∴DB=a，AE=4-．
由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，
得a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）；

（2）證明：據(jù)題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），DE=1，
∵a＞1，
易得EC=，BE=a-1，
∴=a-1，=a-1．
∴且∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴∠ABE=∠CDE，
∴DC∥AB；

（3）解：∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，
，
∴a-1=1，得a=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，
解得．
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，
∴a=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，
解得，
故直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5．
綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）由函數(shù)（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），可求m=4，由已知條件可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），又由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，得a=3，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，）；
（2）依題意可證，=a-1，=a-1，，所以DC∥AB；
（3）由于DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，由（2）得，點(diǎn)B的坐標(biāo)是
（2，2），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，則BD=AC，可求點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1），設(shè)直線AB的函數(shù)解析式
y=kx+b，用待定系數(shù)法可以求出解析式（把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入），是y=-x+5．
點(diǎn)評：本題要注意利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特點(diǎn)，列出方程，求出未知數(shù)的值，用待定系數(shù)法從而求得其解析式．
主要是注意分類討論和待定系數(shù)法的運(yùn)用，需學(xué)生熟練掌握．