Question

4．如圖，△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7．點(diǎn)A₂，B₂，C₂分別是邊B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)；點(diǎn)A₃，B₃，C₃分別是邊B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂的中點(diǎn)；…；以此類推，則△A₄B₄C₄的周長(zhǎng)是2，△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)是$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 由三角形的中位線定理得：B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分別等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，所以△A₂B₂C₂的周長(zhǎng)等于△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)的一半，以此類推可求出結(jié)論．

解答 解：∵△A₁B₁C₁中，A₁B₁=4，A₁C₁=5，B₁C₁=7，
∴△A₁B₁C₁的周長(zhǎng)是16，
∵A₂，B₂，C₂分別是邊B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中點(diǎn)，
∴B₂C₂，A₂C₂，A₂B₂分別等于A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁的$\frac{1}{2}$，
…，
以此類推，則△A₄B₄C₄的周長(zhǎng)是$\frac{1}{{2}^{3}}$×16=2；
∴△A_nB_nC_n的周長(zhǎng)是$\frac{{2}^{5}}{2n-1}$，
故答案為：2，$\frac{{2}^{5}}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點(diǎn)及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計(jì)算及證明中有著廣泛的應(yīng)用．