Question

如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點(diǎn)E，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠ADC=45°，PD=PE．
（1）求證：PD為⊙O切線；
（2）若AE=12，CE=3

10

，求△PDE的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連接OC、OD，推出OC⊥AB，推出∠C+∠OEC=90°，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，代入求出∠PDE+∠ODC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）在Rt△OCE中根據(jù)勾股定理求出半徑，在Rt△ODP中根據(jù)勾股定理求出PD和PE，根據(jù)三角形面積公式求出高DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：（1）證明：連接OC、OD，
∵∠ADC=45°，
∴弧AC的度數(shù)是90°，
∵AB為直徑，
∴弧BC的度數(shù)也是90°，
∴弧AC=弧BC，
∵OC為半徑，
∴OC⊥AB，
∴∠COE=90°，
∴∠C+∠OEC=90°，
∵OC=OD，PD=PE，
∴∠C=∠ODC，∠PDE=∠PED，
∴∠PDE+∠ODC=90°，
∴OD⊥PD，
∵OD為半徑，
∴PD為⊙O切線；

（2）解：設(shè)⊙O的半徑是R，
∵AE=12，CE=3

10

，
∴OC=R，OE=12-R，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：R²+（12-R）²=（3

10

）²，
解得：R=3，R=9，
∴當(dāng)R=3時(shí)，OE=12-3-9＞3，舍去，
即R=9，
OE=3，
設(shè)PD=PE=x，
∵在Rt△ODP中，∠ODP=90°，
∴由勾股定理得：9²+x²=（3+x）²，
解得：x=12，
即PD=PE=12，
過(guò)D作DF⊥PO于F，
在Rt△ODP中，由三角形的面積公式得：

1

2

OD×PD=

1

2

PO×DF，
∴9×12=（12+3）×DF
解得：DF=

36

5

，
∴△PDE的面積是：

1

2

×PE×DF=

1

2

×12×

36

5

=

216

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，三角形的面積，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．