16.如圖,已知A,B,C分別是⊙O上的點(diǎn),∠B=60°,P是直徑CD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且AP=AC.
(1)求證:AP與⊙O相切;
(2)如果AC=3,求PD的長(zhǎng).

分析 (1)連結(jié)OA、AD,如圖,利用圓周角定理得到∠CAD=90°,∠ADC=∠B=60°,則∠ACD=30°,再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°,接著根據(jù)圓周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠OAP=90°,于是根據(jù)切線的判定定理可判斷AP與⊙O相切;
(2)在Rt△OPA中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$,PO=2OA=2$\sqrt{3}$,然后計(jì)算PO-OD即可.

解答 (1)證明:連結(jié)OA、AD,如圖,
∵CD為直徑,
∴∠CAD=90°,
∵∠ADC=∠B=60°,
∴∠ACD=30°,
∵AP=AC,
∴∠P=∠ACD=30°,
∵∠AOD=2∠ACD=60°,
∴∠OAP=180°-60°-30°=90°,
∴OA⊥PA,
∴AP與⊙O相切;
(2)解:PA=AC=2,
在Rt△OPA中,∵∠P=30°,
∴OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AP=$\sqrt{3}$,
∵PO=2OA=2$\sqrt{3}$,
∴PD=PO-OD=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.

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