Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC。

（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

Answer 1

   

解：（1）令x=0，解得y=3

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）

令y=0，解得x₁=-1，x₂=3

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,0）

  點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）

（2）由A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)求得直線AB的解析式為y=-x+3

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x+3）（0＜x＜3）

∵PM∥y軸

∠PNB=90°，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）

∴PM=（-x²+2x+3）-（-x+3）

=-x²+3x

∵

∴當(dāng)x=時(shí)的面積最大

此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）

∴PN=，BN=，BP=

∴.

（3）求得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為x=1

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）

∴

①       當(dāng)∠CNQ=90°時(shí)， 如圖1所示

即

解得：

∴Q₁（1，）

②       當(dāng)∠NCQ=90°時(shí)，如圖2所示

即

解得：

∴Q₂（1，）

③       當(dāng)∠CQN=90°時(shí)，如圖3所示

即

解得：

∴Q₃（1，）Q₄（1，）