Question

如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，∠BDE=∠ACB=90°，且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F，CD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF.

（1）FG與DC的位置關(guān)系是         ，F(xiàn)G與DC的數(shù)量關(guān)系是        ；
（2）若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，其它條件不變，請(qǐng)完成下圖，并判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立? 請(qǐng)證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）FG⊥CD ，F(xiàn)G=CD；（2）成立

試題分析：（1）延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于M，連接FC、FD、FM，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得CM=BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ED=BD=CM，再結(jié)合∠E=∠A=45º可證得△AEM是等腰直角三角形，由F是AE的中點(diǎn)可證得MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º，即可證得△EFD≌△MFC，則可得FD=FC，∠EFD=∠MFC，又∠EFD＋∠DFM=90º即得∠MFC＋∠DFM=90º，即可得到△CDF是等腰直角三角形，從而可以證得結(jié)論；
（2）證法同（1）.
解：（1）FG⊥CD ，F(xiàn)G=CD；
（2）延長(zhǎng)ED交AC的延長(zhǎng)線于M，連接FC、FD、FM

∴四邊形 BCMD是矩形.
∴CM=BD.
又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形.
∴ED=BD=CM.
∵∠E=∠A=45º
∴△AEM是等腰直角三角形.
又F是AE的中點(diǎn).
∴MF⊥AE，EF=MF，∠E=∠FMC=45º.
∴△EFD≌△MFC.
∴FD=FC，∠EFD=∠MFC.
又∠EFD＋∠DFM=90º
∴∠MFC＋∠DFM=90º
即△CDF是等腰直角三角形.
又G是CD的中點(diǎn).
∴FG=CD，F(xiàn)G⊥CD.
點(diǎn)評(píng)：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.