Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD=BC=

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，AB=5，CD=3，拋物線y=-x²+bx+c過A、B兩點(diǎn)．
（1）求b、c；
（2）設(shè)M是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值；
（3）當(dāng)（2）中M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使d取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)M為N，設(shè)線段AC與y軸交于點(diǎn)E，F(xiàn)為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，求F到N點(diǎn)與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的兩底的差不難得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b，c的值．
（2）由于M是拋物線上的點(diǎn)，可根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，那么它到x，y軸的距離就是橫坐標(biāo)的絕對(duì)值與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的和，由此可得出一個(gè)新的二次函數(shù)，根據(jù)這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)即可求出d的最大值．
（3）本題的關(guān)鍵是確定F到N點(diǎn)與到y(tǒng)軸的距離之和的最小時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)的位置．
過A作y軸的平行線AH，過F作FG⊥y軸交AH于點(diǎn)Q，過F作FK⊥x軸于K，不難得出∠CAB=45°，因此FK=AK=FQ，而OG=IA=1，因此FG=FK-1，那么F到N點(diǎn)與到y(tǒng)軸的距離之和可表示為FK+FN-1，要想使這個(gè)值最小，F(xiàn)K+FN就必須最小，因此當(dāng)這個(gè)距離和取最小值時(shí)，F(xiàn)，N，K應(yīng)該在一條直線上，由此F的橫坐標(biāo)和N點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同．可先求出直線AC的解析式然后將N點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線AC的解析式中即可得出F點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）易得A（-1，0）B（4，0），
把x=-1，y=0；
x=4，y=0分別代入y=-x²+bx+c，
得

-1-b+c=0 -16+4b+c=0

，
解得

b=3 c=4

．（3分）

（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（a，-a²+3a+4），
d=|a|-a²+3a+4．
①當(dāng)-1＜a≤0時(shí)，d=-a²+2a+4=-（a-1）²+5，
所以，當(dāng)a=0時(shí)，d取最大值，值為4；
②當(dāng)0＜a＜4時(shí)，d=-a²+4a+4=-（a-2）²+8
所以，當(dāng)a=2時(shí)，d取最大值，最大值為8；
綜合①、②得，d的最大值為8．
（不討論a的取值情況得出正確結(jié)果的得2分）

（3）N點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，6），
過A作y軸的平行線AH，過F作FG⊥y軸交AH于點(diǎn)Q，過F作FK⊥x軸于K，
∵∠CAB=45°，AC平分∠HAB，
∴FQ=FK
∴FN+FG=FN+FK-1，
所以，當(dāng)N、F、K在一條直線上時(shí)，F(xiàn)N+FG=FN+FK-1最小，最小值為5．
易求直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，把x=2代入y=x+1得y=3，
所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是最靈活的二次函數(shù)應(yīng)用類的，學(xué)生接受較差．
（3）中正確的找出F點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．