Question

探究：如圖①，在正方形ABCD中，E、F、G分別是邊AD、BC、CD上的點(diǎn)，BG⊥EF，垂足為H．求證：EF=BG．
應(yīng)用：如圖②，將正方形ABCD翻折，使點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處，折痕為EF．若AE=2，BF=6，則B′C=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：探究：過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，可得四邊形ABME是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得AB=EM，再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=BC，從而得到EM=BC，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CBG=∠MEF，然后利用“角邊角”證明△BCG和△EMF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
應(yīng)用：連接BB′過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得EF⊥BB′，先求出MF，再根據(jù)探究結(jié)論B′C=MF．

解答：探究：證明：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，則四邊形ABME是矩形，
∴AB=EM，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴EM=BC，
∵EM⊥BC，
∴∠MEF+∠EFM=90°，
∵BG⊥EF，
∴∠CBG+∠EMF=90°，
∴∠CBG=∠MEF，
在△BCG和△EMF中，

∠CBG=∠MEF EM=BC ∠C=∠EMF=90°

，
∴△BCG≌△EMF（ASA），
∴EF=BG；

應(yīng)用：解：如圖，連接BB′過點(diǎn)E作EM⊥BC于M，
∵點(diǎn)B沿EF折疊后落在邊CD上的點(diǎn)B′處，
∴EF⊥BB′，
∵AE=2，BF=6，
∴MF=BF-BM=BF-AE=6-2=4，
根據(jù)探究，△BCG≌△EMF，
∴B′C=MF=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．