Question

如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，點F在BD上，且 BE=DF 連接AE并延長，交BC于點G，連接CF并延長，交AD于點H．
（1）求證：△AOE≌△COF；
（2）若AC平分∠HAG，求證：四邊形AGCH是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：證明題

分析：（1）先由四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA=OC，OB=OD，則OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可證明△AOE≌△COF；
（2）先證明四邊形AGCH是平行四邊形，再證明CG=AG，即可證明四邊形AGCH是菱形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
在△AOE與△COF中，

OA=OC ∠AOE=∠COF OE=OF

，
∴△AOE≌△COF（SAS）；

（2）由（1）得△AOE≌△COF，
∴∠OAE=∠OCF，
∴AE∥CF，
∵AH∥CG，
∴四邊形AGCH是平行四邊形；
∵AC平分∠HAG，
∴∠HAC=∠GAC，
∵AH∥CG，
∴∠HAC=∠GCA，
∴∠GAC=∠GCA，
∴CG=AG；
∴?AGCH是菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，菱形的判定，難度適中，利用SAS證明△AOE≌△COF是解題的關鍵．