Question

在等邊△ABC中，D、E分別在AC、BC上，且AD=CE=nAC，連AE、BD相交于P，過B作BQ⊥AE于點Q，連CP．
（1）∠BPQ=________，=________
（2）若BP⊥CP，求；
（3）當(dāng)n=________時，BP⊥CP？

Answer 1

解：（1）在△ACE和△BAD中，
CE=AD，
∠ACE=∠BAD=60°（等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°），
AC=BA，
∴△ACE≌△BAD；
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BAP+∠EAC=∠BAP+∠ABD=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABD=60°；
在三角形BPQ中，BQ⊥AE，
∴=cos∠BPQ=；

（2）解：在BP上取BK=AP．連AK
∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE=∠ABD；
∵BK=AP，AB=CA，
∴△ACP≌△BAK，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=30°．
又∠APB=120°．
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴=；

（3）過C點作CF⊥AE，交AE延長線于點F．
∵∠BPQ=60°，BP⊥CP，
∴∠CPF=30°，
∵CP=2CF，
∵∠PBQ=∠CPF=30°，∠BQP=∠PFC=90°，
∴△BPQ∽△PCF，
∴BQ：PC=PQ：CF，
∴BQ：PQ=2，
假設(shè)AD=1，則CD=1-n，
CD：AD=BQ：CE，
∴（1-n）：n=BQ：CE=2，
∴n=．
分析：（1）根據(jù)△ACE≌△BAD及三角形的每一個內(nèi)角是60°解答；
（2）通過作輔助線連AK（在BP上取BK=AP．連AK）來證明△ACP≌△BAK，然后求出∠AKP=∠KAP=30°，從而求得AP=PK；
（3）通過作輔助線CF⊥AE（過C點作CF⊥AE，交AE延長線于點F），然后利用平行線的判定（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）和平行線的性質(zhì)（平行線間的線段成比例）解答．
點評：此題是一個綜合性很強(qiáng)的題目，主要考查等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度很大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們鉆研和探索問題的精神．