Question

如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊，使得點D與點B重合，點C落在點C′的位置上．
（1）試說明△BEF是等腰三角形；
（2）圖形中是否存在成中心對稱的兩個圖形？如果存在，請指出是哪兩個圖形（不必說明理由，圖中實線、虛線一樣看待）；
（3）若AB=4，AD=8，求折痕EF的長度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折不變性和平行線的性質(zhì)得到兩個相等的角，根據(jù)等角對等邊即可判斷△BEF是等腰三角形；
（2）根據(jù)中心對稱圖形的定義找到中心對稱圖形；
（3）作EG⊥BF于G，根據(jù)勾股定理求出AE、BE的長，即可求出BF的長，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化到直角三角形EGF中，求出EF的長．

解答：解：（1）∵ED∥FC，
∴∠DEF=∠BFE，
根據(jù)翻折不變性得到∠DEF=∠BEF，
故∠BEF=∠BFE．
△BEF是等腰三角形；

（2）梯形CFED和梯形AEFB是中心對稱圖形；

（3）作EG⊥BF于G．設(shè)AE=x，則ED=8-x，
根據(jù)翻折不變性，BE=ED=8-x．
在Rt△ABE中，x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3．
所以BE=8-3=5，
又因為BE=BF，
所以BF=5，
又因為AE=BG，
所以BG=3．
則GF=5-3=2．
EF=

EG2+GF2

=2

5

．

點評：此題將翻折變換與勾股定理、中心對稱及等腰三角形的性質(zhì)和判定相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的密切聯(lián)系，是一道好題．