Question

已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)如圖1，頂點(diǎn)為M．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)拋物線與y軸的交點(diǎn)為Q，且直線y=-2x+9與直線OM交于點(diǎn)D（如圖1）．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點(diǎn)在直線OD上，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到D點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)移至N點(diǎn)，求拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過(guò)的區(qū)域的面積；
（3）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)M移至原點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)（如圖2）．試探究：在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠EPQ=∠QPF？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過(guò)A（-3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)：
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得：

a=1 b=4

；

（2）由 （1）求得拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點(diǎn)M（-2，-1），
∴直線OD的解析式為y=

1

2

x，
由方程組

y=-2x+9 y= 1 2 x

，
解得：

x= 18 5 y= 9 5

，
∴D（

18

5

，

9

5

）
如圖1，由平移的性質(zhì)知，拋物線上的兩點(diǎn)M、Q間所夾的曲線

MQ

掃過(guò)的區(qū)域的面積即為平行四邊形MDNQ的面積，連接QD，
∴S_{平行四邊形MDNQ}=2S_△MDQ=2（S_△OQM+S_△OQD）=2×（

1

2

×3×2+

1

2

×3×

18

5

）=

84

5

；

（3）將拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時(shí)，其解析式為y=x²，
設(shè)EF的解析式為y=k x+3（k≠0）．假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)P（0，t）過(guò)P作GH∥x軸，分別過(guò)E，F(xiàn)作GH的垂線，
垂足為G，H（如圖2）．
∵∠EPQ=∠QPF，
∴∠GEP=∠EPQ=∠QPF=∠HFP，
∴△GEP∽△HFP，
∴

GP

HP

=

GE

HF

，
∴

-xE

xF

=

yE-t

yF-t

=

kxE+3-t

kxF+3-t

∴2k x _E•x _F=（t-3）（x _E+x _F）
由

y=x2 y=kx+3

．
得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P（0，-3），使∠EPQ=∠QPF．