Question

如圖，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AC交⊙O于點(diǎn)D，且AD=CD，連接BC，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)E．
（1）試判斷DE與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若AB=4，AD=3，求線段CE長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，那么OD⊥DE，根據(jù)等邊對(duì)等角我們可得出∠A=∠ODA=∠C，因此OD∥BC，那么BE就應(yīng)該和DE垂直；
（2）可連接BD通過(guò)相似三角形來(lái)求，那么我們就可圍繞三角形DEC和ABD相似來(lái)求解（一組直角，∠A=∠C），題中告訴了AD、AB的長(zhǎng)，也就告訴了CD的長(zhǎng)，可根據(jù)相似三角形得出的AD、AB、CD、CE的比例關(guān)系求出CE的長(zhǎng)．
解答：解：（1）結(jié)論：DE⊥BC．
理由：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，
∴OA=OB．
∵AD=CD，
∴DO∥BC．
又∵DE是⊙O的切線，
∴DE⊥DO，即∠ODE=90°．
∴DE⊥BC．

（2）連接BD，∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵AD=CD，
∴AB=CB，∠A=∠C．
又∵∠ADB=∠CED=90°，
∴△ADB∽△CED，
∴．
∵AB=4，AD=CD=3，
∴CE=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，（2）問(wèn)中通過(guò)構(gòu)建相似三角形得出線段間的比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．