Question

（2012•蘭州）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E是BC的中點，連接DE、OE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；
（2）若tanC=

5

2

，DE=2，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BD，求出∠ADB=∠BDC=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDB=∠EBD，∠OBD=∠ODB，推出∠EDO=∠EBO=90°即可；
（2）BD=

5

x，CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出（

5

x）²+（2x）²=16，求出x，求出BD，根據(jù)tan∠ABD=tanC求出AD=

5

2

BD，代入求出即可．

解答：解：（1）DE與⊙O相切，
理由如下：連接OD，BD，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中點，
∴DE=BE=CE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠EDB，
即∠EDO=∠EBO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半徑，
∴DE與⊙O相切．

（2）∵tanC=

5

2

=

BD

DC

，可設(shè)BD=

5

x，CD=2x，DE=2，
∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD²+CD²=BC²
∴（

5

x）²+（2x）²=16，
解得：x=±

4

3

（負值舍去）
∴BD=

5

x=

4

3

5

，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC，
∵tan∠ABD=

AD

BD

=

5

2

，
AD=

5

2

BD=

5

2

×

4 5

3

=

10

3

．
答：AD的長是

10

3

．

點評：本題綜合考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，切線的判定等知識點，主要培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力，注意：①證切線的方法，②方程思想的運用．