Question

（2013年四川資陽11分）在一個(gè)邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點(diǎn)E、M分別是線段AC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；

（2）如圖2，假設(shè)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/s速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）；

①判斷命題“當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)M是邊CD的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由．

②連結(jié)FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，∴∠ADF=∠DCN。

在△ADF與△DNC中，∵，

∴△ADF≌△DNC（ASA）。∴DF=MN。

（2）①該命題是真命題。理由如下：

當(dāng)點(diǎn)F是邊AB中點(diǎn)時(shí)，則AF=AB=CD。

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴。∴AE=EC，則AE=AC=a。∴。

∴CM=1•t=a=CD。

∴點(diǎn)M為邊CD的三等分點(diǎn)

②能。理由如下：

易證AFE∽△CDE，∴，即，得。

易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t。

∴ND=CM=t，AN=DM=a﹣t。

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

（I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=DM，即=t，得t=0，不合題意�！啻朔N情形不存在。

（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合。

（III）若FM=MN，顯然此時(shí)點(diǎn)F在BC邊上，如圖所示，

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a﹣t。

又由△NDM∽△DCF，∴，即

∴。

∴=a﹣t。

∴t=a，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合。

綜上所述，當(dāng)t=a或t=a時(shí)，△MNF能夠成為等腰三角形。

【解析】（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN。

（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時(shí)間t=a，進(jìn)而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題。

②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論。

考點(diǎn)：四邊形綜合題，雙動(dòng)點(diǎn)問題，命題和證明，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，分類思想的應(yīng)用。