Question

（2013年四川資陽(yáng)9分）如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線（a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）：

①分別求出直線l與雙曲線的解析式；

②若將直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)？

（2）假設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）①把D（4，1）代入得a=1×4=4，

∴反比例函數(shù)解析式為（x＞0）。

設(shè)直線l的解析式為y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得，解得。

∴直線l的解析式為y=﹣x+5。

②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=﹣x+5﹣m，

當(dāng)方程組只有一組解時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

化為關(guān)于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，

△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。

而m=9時(shí)，解得x=﹣2，故舍去。

∴當(dāng)m=1時(shí)，直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。

（2）如圖，作DF⊥x軸于點(diǎn)F，

∵點(diǎn)D為線段AB的n等分點(diǎn)，∴DA：AB=1：n。

∵DF∥OB，∴△ADF∽△ABO。

∴，即。

∴�！郞F=。

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（，）。

把D（，）代入得（）•=a，解得。

【解析】（1）①運(yùn)用待定系數(shù)法可分別得到直線l與雙曲線的解析式。

②直線l向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到y(tǒng)=﹣x+5﹣m，根據(jù)題意得方程組只有一組解時(shí)，化為關(guān)于x的方程得x²+（5﹣m）x+4=0，則△=（m﹣5）²﹣4×4=0，解得m₁=1，m₂=9。當(dāng)m=9時(shí)，公共點(diǎn)不在第一象限，所以m=1。

（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據(jù)相似比可得到，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），然后把D點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到b的值。　

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法點(diǎn)的應(yīng)用，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，相似三角形的判定和性質(zhì)。