Question

17．如圖，拋物線y=ax²+bx-5與x軸相交于A（1，0），B（5，0），與y軸相交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上），分別過點(diǎn)A、B作AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分別為點(diǎn)D、E，連接MD、ME．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，使S_△PAB=S_△PAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得a=-1，b=6，從而可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a²+6a-5），然后求得直線CP的解析式為y=（6-a）x-5，令y=0，從而可求得直線CP與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后根據(jù)S_△PAB=S_△PAC列出關(guān)于a的方程，從而可求得a=4；
（3）當(dāng)∠MED=90°時(shí)，點(diǎn)E，B，M在一條直線上，此種情況不成立，同理當(dāng)∠MDE=90°時(shí)，不成立，當(dāng)∠DME=90°時(shí)，設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，首先證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，2）；其次利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b-5=0}\\{25a+5b-5=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=6，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．
（2）如圖1所示：記PC與x軸的交點(diǎn)為F．

∵令x=0，得y=-5，
∴C（0，-5）．
設(shè)直線PC的解析式為y=kx-5，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，-a²+6a-5）．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入PC的解析式得：ka=-a²+6a-5．
解得：a=0（舍去），k=6-a．
∴直線PC的解析式為y=（6-a）x-5．
令y=0得：（6-a）x-5=0．
解得：x=$\frac{5}{6-a}$．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)（$\frac{5}{6-a}$，0）．
∵S_△PAB=S_△PAC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{6-a}$-1）（-a²+6a-5+5）=$\frac{1}{2}×4$×（-a²+6a-5）．
解得：整理得：a²-5a+4=0．
解得：a=1（舍去），a=4．
當(dāng)a=4時(shí)，-a²+6a-5=-16+24-5=3．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．
（3）∵拋物線解析式為y=-x²+6x-5，
∴對稱軸是直線x=3．
∴M（3，0）．
①當(dāng)∠MED=90°時(shí)，點(diǎn)E，B，M在一條直線上，此種情況不成立；
②同理：當(dāng)∠MDE=90°時(shí)，不成立；
③當(dāng)∠DME=90°時(shí)，如圖2所示：

設(shè)直線PC與對稱軸交于點(diǎn)N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA．
∵∠MDE=45°，∠EDA=90°，
∴∠MDA=135°．
∵∠MED=45°，
∴∠NEM=135°．
∴∠ADM=∠NEM=135°．
在△ADM與△NEM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠DMA}\\{EM=DM}\\{∠ADM=∠NEM=135°}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△NEM（ASA）．
∴MN=MA．
∴MN=MA=2，
∴N（3，2）．
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，將點(diǎn)N（3，2），C（0，-5）代入直線的解析式得；$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=2}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{3}}\\{b=-5}\end{array}\right.$．
∴直線PC的解析式為y=$\frac{7}{3}$x-5．
將y=$\frac{7}{3}$x-5代入拋物線解析式得：$\frac{7}{3}$x-5=-x²+6x-5，解得：x=0或x=$\frac{11}{3}$，
當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=$\frac{11}{3}$時(shí)，y=$\frac{7}{3}$x-5=$\frac{32}{9}$．
∴P（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{11}{3}$，$\frac{32}{9}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得△ADM≌△NEM（ASA），從而得到點(diǎn)N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．