Question

如圖，⊙O的半么為6，AB為弦，將⊙O沿弦AB所在的直線折疊后，

AB

上的點H與圓心O重合．
（1）求弦AB的長度．
（2）點E是

AOB

上的動點，過點E作

AOB

的切線交⊙O于C、D兩點．
①當點E與點O重合時，判斷CD與AB的位置關系，并說明理由；
②當點C與點A重合時，判斷CD與AB的數量關系，并說明理由；
③請你直接寫出線段CD的長度的范圍．

Answer 1

分析：（1）連接EH，BO，根據勾股定理求出BM，根據垂徑定理求出AB=2BM，求出即可；
（2）①連接EH，根據折疊得出AB⊥OH，根據切線定理得出HO⊥CD，根據平行線的判定推出即可；②求出AD長，即可得出答案；③當和A或B重合時，CD=AB，當和A、B不重合時，根據直徑是最長的弦，CD＞6

3

．

解答：解：（1）如圖3，連接EH，BO，
∵⊙O半徑為6，沿AB折疊H和O重合，
∴OM=HM=3，OH⊥AB，
∴由垂徑定理得：AB=2BM=2AM，由勾股定理得：BM=

62-32

=3

3

，
即AB=6

3

；

（2）①當點E與點O重合時，CD∥AB，
理由是：如圖1，連接HE，
∵OH是半徑，CD切⊙H于E，
∴OH⊥CD，
∵OH⊥AB，
∴CD∥AB；

②如圖2，當點C與點A重合時，CD=AB=6

3

，
理由是：連接HD，
∵CD切⊙H于A，
∴HA⊥CD，
∴∠HAD=90°，
∴HD為直徑，
即HD=2×6=12，
∵AH=6，
∴在Rt△DAH中，AD=

122-62

=6

3

，
即CD=AB=6

3

；

③∵當和A或B重合時，CD=AB，當和A、B不重合時，根據直徑是最長的弦，CD＞6

3

，
∴線段CD的長度的范圍是CD≥6

3

．

點評：本題考查了切線性質，垂徑定理，勾股定理，平行線性質和判定的應用，注意：直徑是最長的弦．