如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OEFG的頂點E坐標(biāo)為(4,0),頂點G坐標(biāo)為(0,2).將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),使點F落在y軸的點N處,得到矩形OMNP,OM與GF交于點.
(1)判斷△OGA和△NPO是否相似,并說明理由;
(2)求過點A的反比例函數(shù)解析式;
(3)若(2)中求出的反比例函數(shù)的圖象與EF交于B點,請?zhí)剿鳎褐本AB與OM是否垂直,并說明理由.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠P=∠POM=∠OGF=90°,再根據(jù)等角的余角相等可得∠PNO=∠GOA,然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到△OGA∽△NPO;
(2)由E點坐標(biāo)為(4,0),G點坐標(biāo)為(0,2)得到OE=4,OG=2,則OP=OG=2,PN=GF=OE=4,由于△OGA∽△NPO,則OG:NP=GA:OP,即2:4=GA:2,可求得GA=1,可得到A點坐標(biāo)為(1,2),然后利用待定系數(shù)法即可得到過點A的反比例函數(shù)解析式;
(3)先根據(jù)B點的橫坐標(biāo)為4和B點在y=
2
x
得到B點坐標(biāo)為(4,
1
2
),則BF=2-
1
2
=
3
2
,而AG=1,AF=4-1=3,所以O(shè)G:AF=2:3,GA:FB=1:
3
2
=2:3,則OG:AF=GA:FB,而∠OGA=∠F,根據(jù)相似三角形的判定方法得到△OGA∽△AFB,可得∠GAO=∠ABF,由∠ABF+∠BAF=90°,則∠GAO+∠BAF=90°,于是有直線AB與OM垂直.
解答:解:(1)△OGA和△NPO相似.理由如下:
∵矩形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn),使點F落在y軸的點N處,得到矩形OMNP,
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°,
∴∠PON+∠PNO=90°,∠GOA+∠PON=90°,
∴∠PNO=∠GOA,
∴△OGA∽△NPO;

(2)∵E點坐標(biāo)為(4,0),G點坐標(biāo)為(0,2),
∴OE=4,OG=2,
∴OP=OG=2,PN=GF=OE=4,
∵△OGA∽△NPO,
∴OG:NP=GA:OP,即2:4=GA:2,
∴GA=1,
∴A點坐標(biāo)為(1,2),
設(shè)過點A的反比例函數(shù)解析式為y=
k
x
,
把A(1,2)代入y=
k
x
得k=1×2=2,
∴過點A的反比例函數(shù)解析式為y=
2
x


(3)直線AB與OM垂直.理由如下:
把x=4代入y=
2
x
中得y=
1
2
,
∴B點坐標(biāo)為(4,
1
2
),
∴BF=2-
1
2
=
3
2
,
而A點坐標(biāo)為(1,2),
∴AG=1,AF=4-1=3,
∴OG:AF=2:3,GA:FB=1:
3
2
=2:3,
∴OG:AF=GA:FB,
而∠OGA=∠F,
∴△OGA∽△AFB,
∴∠GAO=∠ABF,
∵∠ABF+∠BAF=90°,
∴∠GAO+∠BAF=90°,
∴∠OAB=90°,
∴直線AB與OM垂直.
點評:本題考查了反比例函數(shù)綜合題:點在反比例函數(shù)圖象上,則點的橫縱坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式;運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式;掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì);熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì).
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
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(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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