Question

（2012•遵義）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-

3

）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上求點(diǎn)P，使S_△POA=2S_△AOB；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使△AQO與△AOB相似？如果存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)經(jīng)過原點(diǎn)，可得c=0，然后根據(jù)函數(shù)的對稱軸，及函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，-

3

）可得出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可直接得出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)題意可得點(diǎn)P到OA的距離是點(diǎn)B到OA距離的2倍，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2

3

，代入函數(shù)解析式可得出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
（3）分情況討論，①點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合可直接得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合，先求出∠BOA的度數(shù)，然后可確定∠Q₁OA=的度數(shù)，繼而利用解直角三角形的知識求出x，得出Q₁的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象函數(shù)的對稱性可得出Q₂的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)得，函數(shù)解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又∵函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-

3

），
∴

- b 2a =3 9a+3b=- 3

，
解得：

a= 3 9 b=- 2 3 3

，
故函數(shù)解析式為：y=

3

9

x²-

2 3

3

x，
由二次函數(shù)圖象的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）；

（2）∵S_△POA=2S_△AOB，

∴點(diǎn)P到OA的距離是點(diǎn)B到OA距離的2倍，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2

3

，
代入函數(shù)解析式得：2

3

=

3

9

x²-

2 3

3

x，
解得：x₁=3+3

3

，x₂=3-3

3

，
即滿足條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，其坐標(biāo)為：P₁（3+3

3

，2

3

），P₂（3-3

3

，2

3

）．

（3）存在．
①當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，滿足△AQO與△AOB相似，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，-

3

）；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B不重合時(shí)，
過點(diǎn)B作BP⊥OA，則tan∠BOP=

BP

OP

=

3

3

，
故可得∠BOA=30°，
設(shè)Q₁坐標(biāo)為（x，

3

9

x²-

2 3

3

x），過點(diǎn)Q₁作Q₁F⊥x軸，
∵△OAB∽△OQ₁A，
∴∠Q₁OA=30°，
故可得OF=

3

Q₁F，即x=

3

（

3

9

x²-

2 3

3

x），
解得：x=9或x=0（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)得此時(shí)OA=AQ₁，△OQ₁A是等腰三角形，且和△OBA相似．
即可得Q₁坐標(biāo)為（9，3

3

），
根據(jù)函數(shù)的對稱性可得Q₂坐標(biāo)為（-3，3

3

）．
∴在拋物線上存在點(diǎn)Q，使△AQO與△AOB相似，其坐標(biāo)為：（3，-

3

）或（9，3

3

）或（-3，3

3

）．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積及一元二次方程的解，綜合性較強(qiáng)，需要我們仔細(xì)分析，分步解答．