Question

（2012•遵義）如圖，△OAC中，以O為圓心，OA為半徑作⊙O，作OB⊥OC交⊙O于B，垂足為O，連接AB交OC于點D，∠CAD=∠CDA．
（1）判斷AC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若OA=5，OD=1，求線段AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件“∠CAD=∠CDA”、對頂角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根據等腰三角形OAB的兩個底角相等、直角三角形的兩個銳角互余的性質推知
∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°．所以線段AC是⊙O的切線；
（2）根據“等角對等邊”可以推知AC=DC，所以由圖形知OC=OD+CD；然后利用（1）中切線的性質可以在Rt△OAC中，根據勾股定理來求AC的長度．

解答：解：（1）線段AC是⊙O的切線；
理由如下：∵∠CAD=∠CDA（已知），∠BDO=∠CDA（對頂角相等），
∴∠BDO=∠CAD（等量代換）；
又∵OA=OB（⊙O的半徑），
∴∠B=∠OAB（等邊對等角）；
∵OB⊥OC（已知），
∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，
∴線段AC是⊙O的切線；

（2）設AC=x（x＞0）．
∵∠CAD=∠CDA（已知），
∴DC=AC=x（等角對等邊）；
∵OA=5，OD=1，
∴OC=OD+DC=1+x；
∵由（1）知，AC是⊙O的切線，
∴在Rt△OAC中，根據勾股定理得，
OC²=AC²+OA²，即
（1+x）²=x²+5²，
解得x=12，即AC=12．

點評：本題綜合考查了勾股定理、切線的判定與性質．欲證某線是圓的切線，只需證明連接圓心與此線過圓上的點的線段（圓的半徑）與該直線垂直即可．