Question

我市的公租房建設(shè)卓有成效，目前已有部分公租房投入使用，計(jì)劃從今年起，在未來的10年內(nèi)解決低收入人群的住房問題，預(yù)計(jì)第x年竣工并投入使用的公租房面積y（百萬平方米）滿足這樣的關(guān)系式：1≤x≤6時(shí)，y=-

1

6

x+5；7≤x≤10時(shí)，y=-

1

8

x+

19

4

．同時(shí)，政府每年將向租戶收取一定的租金，假設(shè)每年的公租房全部出租完，另外隨著物價(jià)上漲等因素的影響，每年的租金也會隨之上調(diào)，預(yù)測：第x年竣工并投入使用的公租房租金z（元/m²）與時(shí)間x（年）滿足以下表：

z（元/m2）	50	52	54	56	…
x（年）	1	2	3	4	…

（1）試估計(jì)z與x之間的函數(shù)類型，并求出該函數(shù)表達(dá)式；
（2）求政府在哪一年竣工并投入使用的公租房收取的租金最多，最多是多少？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解決20萬人的住房問題，政府計(jì)劃在第10年竣工投入使用的公租房在原預(yù)計(jì)總面積不變的情況下，要讓人均住房面積比第6年提高a%，這樣解決住房的人數(shù)將比第6年解決的人數(shù)減少1.35a%，求a的值（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：17²=289，18²=324，19²=361）

Answer 1

分析：（1）由自變量x逐漸增大，而相對應(yīng)的函數(shù)值z逐漸增大，且數(shù)據(jù)均勻增加，可以推測z是x的一次函數(shù)；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m²）×投入使用的公租房面積y（百萬平方米）列出二次函數(shù)，利用配方法求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面積×（1+a%）×第6年解決的人數(shù)×（1-1.35a%）=第10年人均住房面積，列方程解決問題．

解答：解：（1）估計(jì)z是x的一次函數(shù)．
設(shè)z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函數(shù)解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）設(shè)第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金為w百萬元w=y•z，
當(dāng)1≤x≤6時(shí)：w=(-

1

6

x+5)(48+2x)=-

1

3

x2+2x+240=-

1

3

（x-3）²+243，
x=3時(shí)，W_max=243（百萬元）；
當(dāng)7≤x≤10時(shí)，W=(-

1

8

x+

19

4

)(48+2x)=-

1

4

x2+

7

2

x+228=-

1

4

（x-7）²+

961

4

，
x=7時(shí)，Wmax=

961

4

(百萬元)；
∵243＞

961

4

，
∴第3年時(shí)，收取的租金最多，最多是243百萬元；

（3）∵第6年人均住房面積是（-

1

6

×6+5）×100÷20=20，
∴20×（1+a%）×20×（1-1.35a%）=（-

1

8

×10+

19

4

）×100，
設(shè)a%=x，
解得：x₁≈0.2，x₂=

-7- 319

54

＜0（舍去），
∴a=20．

點(diǎn)評：此題綜合考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)，利用配方法求二次函數(shù)的最值以及利用基本數(shù)量關(guān)系建立方程解決實(shí)際問題，是一道比較好的題目．