Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O（0，0），A（0，4

3

），B（4，4

3

），C（8，0），OH垂直BC于H，若OH=4

3

．
（1）求∠HOC的度數(shù)；
（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OH向點(diǎn)H運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO向點(diǎn)O 運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒．
①若直線QP交x軸的正半軸于點(diǎn)N，當(dāng)t為何值時，QP=2PN；
②在P，Q的運(yùn)動過程中，是否存在t值，使得△OPQ與△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由三角函數(shù)，求得∠AOB的度數(shù)，由HL，可證得Rt△AOB≌Rt△HOB，即可求得∠HOC的度數(shù)；
（2）首先作輔助線：過點(diǎn)N與H作NK⊥x軸，即可得到相似三角形：△POQ∽△PKN，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得t的值；
（3）由相似三角形的判定，易得當(dāng)QP⊥OH時，△OPQ∽△HOB，由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當(dāng)t=

4 3

3

時，△OPQ與△HOB相似．

解答：解：（1）∵OA=4

3

，AB=4，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=

AB

OA

=

3

3

，
∴∠AOB=30°，
∵OA=OH，OB=OB，∠BAO=∠BHO=90°，
∴Rt△AOB≌Rt△HOB（HL），
∴∠BOH=∠AOB=30°，
∴∠HOC=30°；

（2）①過點(diǎn)N與H作NK⊥x軸，
∴NK∥OA，
∴△POQ∽△PKN，
∴當(dāng)

NK

OQ

=

PK

OP

=

PN

PQ

=

1

2

時，
∵OQ=4

3

-t，OP=t，
∴PK=

1

2

t，NK=

1

2

（4

3

-t），
∴OK=

3

2

t，
∵∠HOC=30°，
∴

NK

OK

=

1 2 (4 3 -t)

3 2 t

=

4 3 -t

3t

=

1

2

，
∴t=

8 3

5

，
∴當(dāng)t為

8 3

5

時，QP=2PN；
②當(dāng)QP⊥OH時，△OPQ∽△HOB．
∵∠QPO=∠OHB=90°，∠QOP=∠OBH=60°，
∴△OPQ∽△HOB，
∴cos∠QOP=

OP

OQ

=

t

4 3 -t

=

1

2

，
∴t=

4 3

3

，
∴當(dāng)t=

4 3

3

時，△OPQ與△HOB相似．
③當(dāng)PQ⊥OA時，△OPQ∽△BOH，
cos∠QOP=

OQ

OP

=

4 3 -t

t

=

1

2

，
解得：t=

8 3

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．題目綜合性很強(qiáng)，難度比較大，解題時要注意仔細(xì)分析求解．