Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試確定此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據(jù)半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)即可用三角形函數(shù)求出∠ACB的值．
（2）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線和圓的對(duì)稱性，即可得出圓心C和P點(diǎn)必在拋物線的對(duì)稱軸上，因此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．
解答：解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB==；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-，0），B（1+，0）．

（3）由圓與拋物線的對(duì)稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）；
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+3，
由已知得拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（1+，0），
把點(diǎn)B（1+，0）代入上式，
解得a=-1．
故拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，題中用到了垂徑定理、勾股定理、拋物線和圓的對(duì)稱性、二次函數(shù)解析式的確定等知識(shí)，雖然涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但難度不大．