Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（

1

2

，2），B（3，n）在反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)）的圖象G上，連接AO并延長與圖象G的另一個交點為點C，過點A的直線l與x軸的交點為點D（1，0），過點C作CE∥x軸交直線l于點E．
（1）求m的值及直線l對應的函數(shù)表達式；
（2）求點E的坐標；
（3）求證：∠BAE=∠ACB．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由A點在反比例函數(shù)圖象上，把A坐標代入反比例解析式求出m的值，確定出反比例表達式，設直線l對于的函數(shù)表達式為y=kx+b，把A與D坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線l表達式；
（2）由反比例函數(shù)圖象的中心對稱性可知點C的坐標，根據(jù)CE與x軸平行，得到E與C縱坐標相等，求出E坐標即可；
（3）如圖，作AF⊥CE于點F，與過點B的y軸的垂線交于點G，BG交AE于點M，作CH⊥BG 于點H，則BH∥CE，∠BCE=∠CBH，由A，C，E坐標，確定出F坐標，得到CF=EF，由AC=AE，利用等邊對等角得到∠ACE=∠AEC，由B在反比例函數(shù)圖象上，將B坐標代入求出n的值，確定出B，G，H坐標，利用銳角三角函數(shù)定義求出tan∠ABH與tan∠CBH的值，得到∠ABH=∠CBH，等量代換得到∠BCE=∠ABH，利用等式的性質(zhì)變形即可得證．

解答：解：（1）∵點A（

1

2

，2）在反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)）的圖象G上，
∴m=

1

2

×2=1，
∴反比例函數(shù)y=

m

x

（m為常數(shù)）對應的函數(shù)表達式是y=

1

x

，
設直線l對應的函數(shù)表達式為y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0），
∵直線l經(jīng)過點A（

1

2

，2），D（1，0），
∴

1 2 k+b=2 k+b=0

，
解得：

k=-4 b=4

，
∴直線l對應的函數(shù)表達式為y=-4x+4；
（2）由反比例函數(shù)圖象的中心對稱性可知點C的坐標為（-

1

2

，-2），
∵CE∥x軸交直線l于點E，
∴y_E=y_C，
∴點E的坐標為E（

3

2

，-2）；
（3）如圖，作AF⊥CE于點F，與過點B的y軸的垂線交于點G，BG交AE于點M，
作CH⊥BG 于點H，則BH∥CE，∠BCE=∠CBH，
∵A（

1

2

，2），C（-

1

2

，-2），E（

3

2

，-2），
∴點F的坐標為F（

1

2

，-2），
∴CF=EF，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵點B（3，n）在反比例函數(shù)圖象上，
∴n=

1

3

，
∴B（3，

1

3

），G（

1

2

，

1

3

），H（-

1

2

，

1

3

），
在Rt△ABG中，tan∠ABH=

AG

BG

=

2- 1 3

3- 1 2

=

2

3

，
在Rt△BCH中，tan∠CBH=

CH

BH

=

1 3 +2

3+ 1 2

=

2

3

，
∴∠ABH=∠CBH，
∴∠BCE=∠ABH，
∵∠BAE-∠AMH-∠ABH=∠AEC-∠ABH，∠ACB=∠ACE-∠BCE，
∴∠BAE=∠ACB．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，坐標與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第一問的關鍵．