Question

矩形AOBC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓交OB于點(diǎn)E，點(diǎn)P是DE上的一個動點(diǎn)，OC為矩形的對角線．
（1）求∠DAP的取值范圍；
（2）①若P點(diǎn)移動后使DP∥OC時，連接CP試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系？說明理由；
②若CP與OB交于F，AP與OB交于H，當(dāng)矩形的長AC與寬BC的比為

3

：1時，按邊分類請你判斷△PFH的形狀？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)P和D重合時∠DAP最小，當(dāng)P和E重合時∠DAP最大，并且最大時根據(jù)圓周角定理即可求出∠DAP=

1

2

∠DAE，又因?yàn)椤螪AE=90°，進(jìn)而求出∠DAP的取值范圍；
（2）①CP與⊙O的位置關(guān)系是相切，連接OP，由矩形的性質(zhì)可知∠OAC=90°，只要證明△OAC≌△OPC由全等三角形的性質(zhì)即可得到∠OPC=∠OAC=90°，所以O(shè)P⊥CP，即CP與⊙O相切；②當(dāng)矩形的長AC與寬BC的比為

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：1時，按邊分類請你判斷△PFH的形狀是等邊三角形，由特殊角的銳角三角函數(shù)值可知tan∠ACO=

AO

AC

=

3

3

，所以∠ACO=30°，由切線長定理和等邊三角形的證明方法可證得：△ACP是等邊三角形，∠APC=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和對頂角相等再證明∠HFP=60°即可．

解答：解：（1）由題意可知：當(dāng)P和D重合時∠DAP最小為0°，當(dāng)P和E重合時∠DAP最大，
∵四邊形AOBC是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴∠DOE=90°，
∴當(dāng)P和E重合時∠DAP最大=

1

2

×90°=45°，
∴∠DAP的取值范圍是：0°≤∠DAP≤45°；
（2）①若P點(diǎn)移動后使DP∥OC時，連接CP試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系是相切，理由如下：
連接OP，
∵OP=OD，
∴∠ODP=∠OPD，
∵DP∥OC，
∴∠ODP=∠AOC，∠POC=∠OPD，
∴∠AOC=∠POC
在△OAC和△OPC中，

AO=OP ∠AOC=∠POC OC=OC

，
∴△OAC≌△OPC（SAS），
∴∠OPC=∠OAC=90°，
∴OP⊥CP，
即CP與⊙O相切；
②當(dāng)矩形的長AC與寬BC的比為

3

：1時，按邊分類請你判斷△PFH的形狀是等邊三角形，理由如下：
∵tan∠ACO=

AO

AC

=

3

3

，
∴∠ACO=30°，
∵△OAC≌△OPC，
∴∠ACO=∠PCO=30°，
∴∠ACP=60°，
∵AC=PC，
∴△ACP是等邊三角形，
∴∠APC=60°，
∵四邊形AOEC是矩形，
∴∠ACE=∠E=90°，
∴∠FCE=90°-60°=30°，
∴∠CFE=∠HFP=60°，
∴△PFH的形狀是等邊三角形．

點(diǎn)評：本題綜合性的考查了矩形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值，題目的綜合性很強(qiáng)，對學(xué)生的解題能力有很高的要求．