Question

如圖，矩形ABCD中，將△BCD沿BD翻折至△BDE的位置，BE與AD相交于O點(diǎn)，連接AE．
（1）求證：四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）若∠DBC=30°，AB=2，求四邊形ABDE面積．

Answer 1

分析：（1）先由矩形及折疊的性質(zhì)得出∠ODB=∠OBD，則OB=OD，易得OA=OE，則在等腰△OAE與等腰△OBD中，有一對(duì)對(duì)頂角相等，可得∠OAE=∠ODB，證得AE∥BD，又由AB=DE，則可得四邊形ABDE是等腰梯形；
（2）過A點(diǎn)作△ABE的高AF，先由折疊的性質(zhì)得出∠DBE=∠DBC=30°，BE=BC=2

3

，再結(jié)合矩形的性質(zhì)得出∠ABE=30°，解直角△ABF，求出AF=1，從而得到△ABE的面積=

3

，又△BED的面積=△BCD的面積=2

3

，進(jìn)而求出四邊形ABDE的面積=△ABE的面積+△BDE的面積．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ODB=∠DBC，
∵∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠OBD，
∴OB=OD，
∵AD=BC=BE，
∴OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠OAE=∠ODB，
∴AE∥BD，
∵AB=CD=DE，
∴四邊形ABDE是等腰梯形；

（2）過A點(diǎn)作△ABE的高AF．
直角△BCD中，∵∠C=90°，∠DBC=30°，CD=AB=2，
∴BC=2

3

．
∵△BED≌△BCD，
∴∠DBE=∠DBC=30°，BE=BC=2

3

，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBE-∠DBC=30°，
∵△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，
∴AF=

1

2

AB=1．
∴△ABE的面積=

1

2

×BE×AF=

1

2

×2

3

×1=

3

，
△BED的面積=△BCD的面積=

1

2

×2

3

×2═2

3

，
∴四邊形ABDE的面積=△ABE的面積+△BDE的面積=

3

+2

3

=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，等腰梯形的判定，折疊的性質(zhì)以及面積的計(jì)算等知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．