Question

在-次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出了-道題：

  (1)解方程x²-2x-3=0.

    巡視后老師發(fā)現(xiàn)同學(xué)們解此題的方法有公式法、配方法和十字相乘法(分解因式法)。

  接著,老師請(qǐng)大家用自己熟悉的方法解第二道題：

  (2)解關(guān)于x的方程mx²+(m一3)x一3=0(m為常數(shù)，且m≠0).

    老師繼續(xù)巡視，及時(shí)觀察、點(diǎn)撥大家.再接著,老師將第二道題變式為第三道題：

(3)已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx²+(m-3)x-3(m為常數(shù)).

 ①求證：不論m為何值,此函數(shù)的圖象恒過x軸、y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(設(shè)x軸上的定點(diǎn)為A，y軸上的定點(diǎn)為C)；   

  ②若m≠0時(shí),設(shè)此函數(shù)的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為反B,當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí),求m的取值范圍；當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，觀察圖象，直接寫出m的取值范圍.

   請(qǐng)你也用自己熟悉的方法解上述三道題.   

Answer 1

解：（1）由x²－2x－3＝0，得（x+1）(x－3)=0∴x₁=1,x₂=3               …………3分

（2）方法一：由mx²+(m－3)x－3=0得（x+1）·(mx－3)=0

∵m≠0, ∴x₁=－1,x₂=                                  …………3分

方法2：由公式法：

∴x₁=－1,x₂=

（3）①1°當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)y= mx²+(m－3)x－3為y=－3x－3，令y=0,得x=－1

令x=0,則y=－3. ∴直線y=－3x－3過定點(diǎn)A（－1,0）,C（0，－3） …………2分

2°當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)y= mx²+(m－3)x－3為y=（x+1）·(mx－3)

∴拋物線y=（x+1）·(mx－3)恒過兩定點(diǎn)A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）

②當(dāng)m>0時(shí)，由①可知拋物線開口向上，且過點(diǎn)A（－1，0）,C（0，－3）和

B（，0），                                                …………1分

觀察圖象，可知，當(dāng)⊿ABC為Rt⊿時(shí)，

則⊿AOC∽⊿COB∴

∴∴3²=1×

∴OB=9.即B(9,0)

∴當(dāng).即：m＞

當(dāng)m>時(shí)，⊿ABC為銳角三角形                               …………2分

②觀察圖象可知

當(dāng)0<m<時(shí)，則B點(diǎn)在（9,0）的右邊時(shí)，∠ACB>90º,

當(dāng)m<0且m≠－3時(shí)，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，B與A不重合.

∴⊿ABC中的∠ABC>90º

∴⊿ABC是鈍角三角形.

∴當(dāng)0<m<或m<0且m≠－3時(shí)，

⊿ABC為鈍角三角形                                         …………2分