Question

如圖15，在△ABC和△PQD中，AC = k BC，DP = k DQ，∠C =∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC上，連結(jié)EQ交PC于點(diǎn)H．猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

 

Answer 1

【答案】

結(jié)論：EH=AC．

證明：取BC邊中點(diǎn)F，連接DE、DF．

∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)．

∴DE∥BC且DE=BC，

 DF∥AC且DF=AC，

 EC=AC ∴四邊形DFCE是平行四邊形．

∴∠EDF=∠C． 

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ =∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=kBC，∴DF=kDE．

∵DP=kDQ ，∴．

∴△PDF∽△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

又∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC．

∴EH=EC．

∴EH=AC．

選圖16．結(jié)論：EH=AC．

證明：取BC邊中點(diǎn)F，連接DE、DF．

∵D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，

∴DE∥BC且DE=BC， DF∥AC且DF=AC，

EC=AC ，∴四邊形DFCE是平行四邊形．

∴∠EDF=∠C．

∵∠C=∠PDQ，∴∠PDQ=∠EDF ， ∴∠PDF=∠QDE．

又∵AC=BC， ∴DE=DF，∵PD=QD，∴△PDF≌△QDE．

∴∠DEQ=∠DFP．

∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠DEQ=∠EHC，∠DFP=∠C．

∴∠C =∠EHC

∴EH=EC．

∴EH=AC．

選圖17． 結(jié)論： EH=AC．

證明：連接AH．

∵D是AB中點(diǎn)，∴DA=DB．

又∵DB=DQ，∴DQ=DP=AD．∴∠DBQ=∠DQB，．

∵∠DBQ+∠DQB+∠DQA+∠DAQ，=180°，∴∠AQB=90°，

∴AH⊥BC．

又∵E是AC中點(diǎn)，∴HE=AC．

【解析】1）取BC中點(diǎn)F，連接DE，DF．利用三角形中位線性質(zhì)可知四邊形DFCE是平行四邊形，由已知中角的相等，利用等量相加和相等，可得∠PDF=∠QDE，DF∥AC，可得，，即DF=kDE（DE=BF=BC），可證出△PDF∽△QDE．就有∠DFB=∠DEQ，又DE，BC平行可得∠DEQ=∠EHC，那么等量代換就有∠EHC=∠DFB=∠C，因此得證．

（2）和（1）的證法相同．

（3）連接AH，利用已知條件可證出∠ABC=∠BAC，且∠DBQ=∠DQB，那么DB=DQ．能判定△ABQ是直角三角形，同樣，△AQC也是直角三角形，HE是斜邊上的高，所以就有EH=AC．