Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

與直線y=

1

4

x相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線y=

k

x

上的動點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線y=

k

x

于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．
（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），求B點(diǎn)坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式．
（2）過A點(diǎn)作AQ垂直于y軸交于Q點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)從D點(diǎn)出發(fā)沿D→C→N路線以1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，DC長為4．求△AQP的面積S與運(yùn)動時(shí)間t的關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（8，2），A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，易得k的值；
（2）利用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出AQ，CN的長，利用P在CD上和P在CN上分別得出即可，進(jìn)而得出面積最值即可；
（3）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=

1

2

mn=

1

2

k，S_△OEN=

1

2

mn=

1

2

k，即可得出k的值，進(jìn)而得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出解析式即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=

16

x

；

（2）過A點(diǎn)作AQ垂直于y軸交于Q點(diǎn)，
設(shè)P點(diǎn)從D點(diǎn)出發(fā)延D→C→N路線以1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動，DC長為4，
∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴當(dāng)0≤t≤4時(shí)，
S=

1

2

t×AQ=4t，
當(dāng)4≤t≤10時(shí)，
S=

1

2

×QN×AQ=

1

2

×8×6=24；
∴△AQP的面積S與運(yùn)動時(shí)間t的關(guān)系式為：

S=4t(0≤t≤4) S=24(4＜t≤10)

；
∴S的最大值為24；

（3）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，-

n

2

），代入y=

1

4

x得，-

n

2

=

1

4

x₁，x₁=-2n；
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-

n

2

）．
因?yàn)锽D∥y軸，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（-2n，-n）．
因?yàn)樗倪呅蜲DCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為

k

2

，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4   ①；
又因?yàn)?n•

n

2

=k，即n²=k  ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=

4

x

；
又因?yàn)閚²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y(tǒng)=

4

x

，得m=2．故M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；C（-4，-2）；
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，則

2k+b=2 -4k+b=-2

，
解得

k= 2 3 b= 2 3

∴一次函數(shù)解析式為：y=

2

3

x+

2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．