Question

（2013•日照）已知，如圖（a），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，-2），其頂點(diǎn)為D．以AB為直徑的⊙M交y軸于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)E作⊙M的切線交x軸于點(diǎn)N．∠ONE=30°，|x₁-x₂|=8．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AD、BD，在（1）中的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP與△ADB相似（除去全等這一情況）？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）如圖（b），點(diǎn)Q為

EBF

上的動(dòng)點(diǎn)（Q不與E、F重合），連結(jié)AQ交y軸于點(diǎn)H，問：AH•AQ是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知條件求出圓的半徑r，在Rt△MNE中，利用切線的性質(zhì)，求出MN的長度，從而求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；然后利用交點(diǎn)式求出拋物線的解析式，并進(jìn)而確定頂點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P可能在拋物線左側(cè)或右側(cè)，需要分類討論．如答圖2，利用反證法證明點(diǎn)P不存在；
（3）證明△AQF∽△AFH，可得AH•AQ=AF²；根據(jù)垂徑定理及勾股定理，可得AF為定值，故AH•AQ為定值．

解答：解：（1）圓的半徑r=

AB

2

=

|x1-x2|

2

=

8

2

=4．
如答圖1，連接ME，∵NE是切線，∴ME⊥NE．

在Rt△MNE中，∠ONE=30°，MA=ME=4，
∴∠EMN=60°，MN=8，
∴OM=2，
∴OA=2，OB=6．
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（6，0）．
∵拋物線過A、B兩點(diǎn)，所以可設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+2）（x-6），
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（0，-2），∴-2=a（0+2）（0-6），解得a=

1

6

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

6

（x+2）（x-6）=

1

6

x²-

2

3

x-2．
∵y=

1

6

x²-

2

3

x-2=

1

6

（x-2）²-

8

3

，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-

8

3

）．

（2）如答圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知：AD=BD，∠DAB=∠DBA．

若在拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)圖象上存在點(diǎn)P，使△ABP與△ADB相似，
必須有∠BAP=∠BPA=∠BAD．
設(shè)AP交拋物線的對(duì)稱軸于D′點(diǎn)，
顯然D′(2，

8

3

)，
∴直線AP的解析式為y=

2

3

x+

4

3

，
由

2

3

x+

4

3

=

1

6

x2-

2

3

x-2，得x₁=-2（舍去），x₂=10．
∴P（10，8）．
過P作PG⊥x軸，垂足為G，在Rt△BGP中，BG=4，PG=8，
∵PB=

42+82

=4

5

≠8
∴PB≠AB．∴∠BAP≠∠BPA．．
∴△PAB與△BAD不相似，…（9分）
同理可說明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn)．
所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P，使得與△PAB與相似．…（10分）

（3）如答圖3，連結(jié)AF、QF，

在△AQF和△AFH中，
由垂徑定理易知：弧AE=弧AF．
∴∠AQF=∠AFH，
又∠QAF=∠HAF，
∴△AQF∽△AFH，∴

AF

AQ

=

AH

AF

，∴AH•AQ=AF²…（12分）
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²=2²+（2

3

）²=16（或利用AF²=AO•AB=2×8=16）
∴AH•AQ=16
即：AH•AQ為定值．                              …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)與圓的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、切線的性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問為存在型問題，注意解題過程中反證法與分類討論思想的應(yīng)用．