Question

以AB為直徑作半圓O，AB=10，點C是該半圓上一動點，連接AC、BC，并延長BC至點D，使DC=BC，過點D作DE⊥AB于點E、交AC于點F，連接OF．
（1）如圖①，當點E與點O重合時，求∠BAC的度數(shù)；
（2）如圖②，當DE=8時，求線段EF的長；
（3）在點C運動過程中，若點E始終在線段AB上，是否存在以點E、O、F為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請直接寫出此時線段OE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)可得△OBC是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余即可得到∠BAC的度數(shù)；
（2）連接DA．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AD=10，根據(jù)勾股定理和線段的和差關系可得AE和BE的長，通過AA證明△AEF∽△DEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到EF的長；
（3）分兩種情況：①當交點E在O、A之間時；②當交點E在O、B之間時；討論即可求得線段OE的長．

解答：解：（1）連接OC．
∵C為DB中點，
∴OC=BC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠B=60°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°；

（2）連接DA．
∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD=10，
∵DE=8，DE⊥AB，
∴AE=6，
∴BE=4，
∵∠FAE+∠AFE=90°，∠CFD+∠CDF=90°，
∴∠CDF=∠EAF，
∵∠AEF=∠DEB=90°，
∴△AEF∽△DEB，
∴

EF

EB

=

AE

DE

，
∴EF=3；

（3）①當交點E在O、A之間時，
若∠EOF=∠BAC，此時

OE

AC

=

EF

BC

，則OE=

5

3

；
若∠EOF=∠ABC，此時

OE

BC

=

EF

AC

，則OE=

5

2

；
②當交點E在O、B之間時，OE=

-15+5 17

4

．
綜上所述，OE=

5

2

或

5

3

或

-15+5 17

4

．

點評：考查了圓的綜合題，涉及的知識點有直角三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．