Question

已知點(diǎn)D與點(diǎn)A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則CD長(zhǎng)的最小值為______．

Answer 1

有兩種情況：
①CD是平行四邊形的一條邊，那么有AB=CD=

62+82

=10

②CD是平行四邊形的一條對(duì)角線，
過(guò)C作CM⊥AO于M，過(guò)D作DF⊥AO于F，交AC于Q，過(guò)B作BN⊥DF于N，
則∠BND=∠DFA═∠CMA=∠QFA=90°，
∠CAM+∠FQA=90°，∠BDN+∠DBN=90°，
∵四邊形ACBD是平行四邊形，
∴BD=AC，∠C=∠D，BD∥AC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∵在△DBN和△CAM中

∠BND=∠AMC ∠DBN=∠CAM BD=AC

∴△DBN≌△CAM（AAS），
∴DN=CM=a，BN=AM=8-a，
D（（8-a，6+a），
由勾股定理得：CD²=（8-a-a）²+（6+a+a）²=8a²-8a+100=8（a-

1

2

）²+98，
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，CD有最小值，是

98

∵

98

＜10，
∴CD的最小值是

98

=7

2

．

解法二：
CD是平行四邊形的一條對(duì)角線
設(shè)CD、AB交于點(diǎn)E，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴E（

8+0

2

，

0+6

2

），即E（4，3）
∵CE=DE，
∴當(dāng)DE取得最小值時(shí)，CE自然為最小，
∵C（a，-a），
∴C點(diǎn)可以看成在直線y=-x上的一點(diǎn)，
∴CE最小值為點(diǎn)E到直線的距離，即CE⊥直線y=-x，
根據(jù)兩直線垂直，斜率乘積為-1，
∴CE所在直線為y=x+b，代入E（4，3），可得y=x-1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為兩直線交點(diǎn)：

y=-x y=x-1

，即：（

1

2

，-

1

2

）
∴CE為：

( 1 2 +3)2+(4- 1 2 )2

=

7 2

2

∴CD=7

2

．
故答案為：7

2

．