Question

已知拋物線C₁：y=x²-2x的圖象如圖所示，把C₁的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C₂的圖象，拋物線C₁與拋物線C₂的圖象合稱(chēng)圖象C₃．
（1）求拋物線C₁的頂點(diǎn)A坐標(biāo)，并畫(huà)出拋物線C₂的圖象；
（2）若直線y=kx+b與拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)直線與拋物線相切．若直線y=x+b與拋物線C₁相切，求b的值；
（3）結(jié)合圖象回答，當(dāng)直線y=x+b與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）用配方法將C₁化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；由于C₂、C₁關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么C₂、C₁的開(kāi)口方向和開(kāi)口大小都相同，而它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)也關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，可據(jù)此畫(huà)出C₂的圖象．
（2）聯(lián)立直線y=x+b和拋物線C₁的解析式，消去y后可得到關(guān)于x的一元二次方程，若兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，那么方程的判別式△=0，由此求得b的值①．
（3）可參照（2）的解法求出當(dāng)直線y=x+b與C₂相切時(shí)b的值②，若此直線與C₃有兩個(gè)交點(diǎn)，那么b的取值范圍必在①②的范圍之內(nèi)，由此得解．
解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，-1）．（1分）
圖如右圖；（2分）

（2）
把（1）式代入（2）
整理得：x²-3x-b=0；
△=9+4b=0，．（4分）

（3）
把（1）式代入（2）
整理得：x²+x-b=0；
△=1+4b=0，．（6分）
∴當(dāng)直線y=x+b與圖象C₃有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍為：．（7分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查函數(shù)圖象的幾何變換、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、根的判別式等知識(shí)，難度適中．