Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m≠0）的頂點為A，與y軸交于點C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對稱，其頂點為B．若點P是拋物線C₁上的點，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，則m的值為

±

3

．

Answer 1

分析：拋物線C₁、C₂關(guān)于y軸對稱，那么它們的頂點A、B也關(guān)于y軸對稱，所以AB∥x軸；若以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，那么CP也必須與x軸平行，即點C、P的縱坐標相同，代入拋物線C₁的解析式中，就能確定點P的坐標，此時能發(fā)現(xiàn)AB=CP，即四邊形APCB中，AB、CP平行且相等，即該四邊形APCB是平行四邊形，只要再滿足AP=CP（即一組鄰邊相等），就能判定該四邊形是菱形，因此先用m表達出AP、CP的長，再列等式求出m的值．

解答：解：由拋物線C₁：y=-x²+2mx+1知，點A（m，m²+1）、C（0，1）；
∵拋物線C₁、C₂關(guān)于y軸對稱，
∴點A、B關(guān)于y軸對稱，則AB∥x軸，且B（-m，m²+1），AB=|-2m|；
若以A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，則  AB∥CP；
在拋物線C₁：y=-x²+2mx+1中，當y=1時，-x²+2mx+1=1，解得 x₁=0、x₂=2m，
∴點P（2m，m²+1）；
∴AB=CP=|2m|，又AB∥CP，則四邊形APCB是平行四邊形；
若四邊形APCB是菱形，那么必須滿足AP=CP，即：
（2m）²=（m-0）²+（m²+1-1）²，即：m²=3，
解得 m=±

3

．
故答案為：±

3

．

點評：此題主要考查的是菱形和二次函數(shù)的綜合題，把握好菱形的特點以及軸對稱圖形的性質(zhì)即可正確解題．此題的解法較多，若以A、P、C、B為頂點的四邊形是菱形，那么△ABC應(yīng)該是等邊三角形，根據(jù)這個思路來解題也是比較簡便的方法．