Question

“青海玉樹”大地震后，某公司向災區(qū)獻愛心，捐了四月份的全部銷售利潤．已知該公司四月份共銷售A，B，C三種型號的器材，每種型號器材的銷售量不少于20臺．售出的三種器材的進貨款總計218萬元，已知四月份其他各項支付（其他各項支出=人員工資+雜項開支）為18.6萬元，A，B，C三種器材的進價和售價如表所示：

型號	A	B	C
進價（萬元/臺）	2.1	2.3	2.2
售價（萬元/臺）	2.7	3.5	2.6

其中人員工資y₁（萬元）和雜項支出y₂（萬元）分別于銷售量x（臺）成一次函數(shù)關系，如圖．
（1）求y₁與y₂的函數(shù)關系式；
（2）求四月份該公司的銷售量；
（3）設該公司四月份售出A種型號器材t臺，四月份總銷售量利潤為W（萬元）．求W與t的函數(shù)關系式：（銷售利潤=銷售額-進貨款-其他各項支出）
（4）求該公司向災區(qū)捐款金額的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設y₁與x的函數(shù)關系式為y₁=kx+7（k≠0），把點P（20，7.6）代入即可得出函數(shù)關系式，
（2）由題可知y₁+y₂=18.6，再把知y₁、y₂的函數(shù)關系式代入，可求得銷售量，
（3）設四月份售出B種型號器材m臺，根據(jù)，銷售利潤=銷售額-進貨款-其他各項支出，可列出一次函數(shù)2.1t+2.3m+2.2（100-t-m）=218，整理得到W與t的函數(shù)關系式；
（4）根據(jù)題意可得，，可得出t的取值范圍，根據(jù)w隨t的增大而增大，即可求得該公司向災區(qū)捐款金額的最大值．
解答：解：（1）設y₁與x的函數(shù)關系式為y₁=kx+7（k≠0），
把點P（20，7.6）代入得，
7.6=20k+7，
k=0.03，
∴y₁=0.03x+7；

（2）由題可知y₁+y₂=18.6，
18.6=0.003x+8.3+0.03x+7，
3.3=0.033x，
x=100，
∴四月份該公司售出量為100臺；

（3）設四月份售出B種型號器材m臺，
則，2.1t+2.3m+2.2（100-t-m）=218，
m=t-20，
100-t-m=100-t-（t-20）=-2t+120，
W=（2.7-2.1）t+（3.5-2.3）（t-20）+（2.6-2.2）（-2t+120）-18.6，
=0.6t+1.2t-24-0.8t+48-18.6，
=t+5.4（t≥20）；

（4）根據(jù)題意得，
，
∴40≤t≤50，
由W=t+5.4，
∵k=1＞0，
∴w隨t的增大而增大，
∴t=50時，w_最大=50+5.4=55.4，
答：該公司向災區(qū)捐款金額的最大值為55.4萬元．
點評：本題主要考查了一次函數(shù)在實際問題中運用，弄懂題意，列出一次函數(shù)，注意利用一次函數(shù)求最值時，關鍵是應用一次函數(shù)的性質(zhì)；即由函數(shù)y隨x的變化，結合自變量的取值范圍確定最值．