Question

如圖1，已知直線EA與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)A（0，2），過直線EA上的兩點(diǎn)F、G分別作x軸的垂線段，垂足分別為M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．
（1）如果m=-4，n=1，試判斷△AMN的形狀；
（2）如果mn=-4，（1）中有關(guān)△AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，題目中的條件不變，如果mn=-4，并且ON=4，求經(jīng)過M、A、N三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（4）在（3）的條件下，如果拋物線的對(duì)稱軸l與線段AN交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q是對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)M、A、N為頂點(diǎn)的三角形相似，求符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理可以求出AM．AN，MN的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形．
（2）AM．AN，MN的長(zhǎng)度可以用m，n表示出來，根據(jù)m，n的關(guān)系就可以證明．
（3）M、A、N的坐標(biāo)已知，根據(jù)待定系數(shù)法局可以求出二次函數(shù)的解析式．
（4）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)Q₁符合條件，易證Rt△PNQ₁∽R(shí)t△ANM且Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM兩兩相似，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，得到

Q1Q2

AN

=

Q1N

AM

就可以求出Q₁Q₂得到符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）△AMN是直角三角形．
依題意得OA=2，OM=4，ON=1，
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+42

=2

5

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+12

=

5

∴MN²=AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）

（2）答：（1）中的結(jié)論還成立．
依題意得OA=2，OM=-m，ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN²=（n-m）²⁼n²-2mn+m²
∵mn=-4
∴MN²⁼n²-2×（-4）+m²=n²+m²⁺8
又∵在Rt△AOM中，AM=

OA2+OM2

=

22+(-m)2

=

4+m2

在Rt△AON中，AN=

OA2+ON2

=

22+n2

=

4+n2

∴AM²⁺AN²⁼4+m²+4+n²=n²+m²⁺8
∴MN²⁼AM²⁺AN²
∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）

（3）∵mn=-4，n=4，
∴m=-1．
方法一：設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax²+bx+c．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
∴

a-b+c=0 42a+4b+c=0 c=2

．
∴

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

．
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．
方法二：設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x⁺1）（x^-4）．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）
∴-4a=2解得a=-

1

2

∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

（x+1）（x-4）
即y=-

1

2

x²⁺

3

2

x+2．（2分）

（4）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)Q₁符合條件，
∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ₁，
∴Rt△PNQ₁∽R(shí)t△ANM
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

3

2

，
∴Q₁（

3

2

，0）（2分）
∴NQ₁=4-

3

2

=

5

2

．
過點(diǎn)N作NQ₂⊥AN，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)Q₂．
∴Rt△PQ₂N、Rt△NQ₂Q₁、Rt△PNQ₁和Rt△ANM兩兩相似
∴

Q1Q2

AN

=

Q1N

AM

即Q₁Q₂₌

Q1N

AM

•AN=

5 2

5

•

22+42

=5
∵點(diǎn)Q₂位于第四象限，
∴Q₂（

3

2

，-5）（2分）
因此，符合條件的點(diǎn)有兩個(gè)，
分別是Q₁（

3

2

，0），Q₂（

3

2

，-5）．
（解法不惟一）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了勾股定理的逆定理，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．以及相似三角形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比相等．