(2009•滄浪區(qū)一模)如圖1,已知直線EA與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E和點(diǎn)A(0,2),過直線EA上的兩點(diǎn)F、G分別作x軸的垂線段,垂足分別為M(m,0)和N(n,0),其中m<0,n>0.
(1)如果m=-4,n=1,試判斷△AMN的形狀;
(2)如果mn=-4,(1)中有關(guān)△AMN的形狀的結(jié)論還成立嗎?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由;
(3)如圖2,題目中的條件不變,如果mn=-4,并且ON=4,求經(jīng)過M、A、N三點(diǎn)的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(4)在(3)的條件下,如果拋物線的對稱軸l與線段AN交于點(diǎn)P,點(diǎn)Q是對稱軸上一動點(diǎn),以點(diǎn)P、Q、N為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)M、A、N為頂點(diǎn)的三角形相似,求符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】分析:(1)根據(jù)勾股定理可以求出AM.AN,MN的長度,根據(jù)勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形.
(2)AM.AN,MN的長度可以用m,n表示出來,根據(jù)m,n的關(guān)系就可以證明.
(3)M、A、N的坐標(biāo)已知,根據(jù)待定系數(shù)法局可以求出二次函數(shù)的解析式.
(4)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)Q1符合條件,易證Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM兩兩相似,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等,得到就可以求出Q1Q2得到符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)△AMN是直角三角形.
依題意得OA=2,OM=4,ON=1,
∴MN=OM+ON=4+1=5
在Rt△AOM中,AM===
在Rt△AON中,AN===
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形(解法不惟一).(2分)

(2)答:(1)中的結(jié)論還成立.
依題意得OA=2,OM=-m,ON=n
∴MN=OM+ON=n-m
∴MN2=(n-m)2=n2-2mn+m2
∵mn=-4
∴MN2=n2-2×(-4)+m2=n2+m2+8
又∵在Rt△AOM中,AM===
在Rt△AON中,AN===
∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8
∴MN2=AM2+AN2
∴△AMN是直角三角形.(解法不惟一)(2分)

(3)∵mn=-4,n=4,
∴m=-1.
方法一:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+bx+c.
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)M(-1,0)、N(4,0)和A(0,2)


∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+x+2.
方法二:設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x+1)(x-4).
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(0,2)
∴-4a=2解得a=-
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x+1)(x-4)
即y=-x2+x+2.(2分)

(4)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)Q1符合條件,
∵l⊥MN,∠ANM=∠PNQ1,
∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM
∵拋物線的對稱軸為直線x=,
∴Q1,0)(2分)
∴NQ1=4-=
過點(diǎn)N作NQ2⊥AN,交拋物線的對稱軸于點(diǎn)Q2
∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM兩兩相似

即Q1Q2=
∵點(diǎn)Q2位于第四象限,
∴Q2,-5)(2分)
因此,符合條件的點(diǎn)有兩個,
分別是Q1,0),Q2,-5).
(解法不惟一)
點(diǎn)評:本題主要考查了勾股定理的逆定理,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.以及相似三角形的性質(zhì),對應(yīng)邊的比相等.
練習(xí)冊系列答案
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