Question

（2012•麗水）如圖，等邊△OAB和等邊△AFE的一邊都在x軸上，雙曲線y=

k

x

（k＞0）經(jīng)過(guò)邊OB的中點(diǎn)C和AE的中點(diǎn)D．已知等邊△OAB的邊長(zhǎng)為4．
（1）求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式；
（2）求等邊△AEF的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出OG、CG的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，再利用 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式列式計(jì)算即可得解；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH=a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出DH的長(zhǎng)度，然后表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，解方程得到a的值，從而得解．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)C是等邊△OAB的邊OB的中點(diǎn)，
∴OC=2，∠AOB=60°，
∴OG=1，CG=OG•tan60°=1•

3

=

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，

3

），
由

3

=

k

1

，得：k=

3

，
∴該雙曲線所表示的函數(shù)解析式為y=

3

x

；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AF于點(diǎn)H，設(shè)AH=a，則DH=

3

a．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4+a，

3

a），
∵點(diǎn)D是雙曲線y=

3

x

上的點(diǎn)，
由xy=

3

，得

3

a（4+a）=

3

，
即：a²+4a-1=0，
解得：a₁=

5

-2，a₂=-

5

-2（舍去），
∴AD=2AH=2

5

-4，
∴等邊△AEF的邊長(zhǎng)是2AD=4

5

-8．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，等邊三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，難度不大，作出輔助線，表示出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．