Question

半徑為5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．
（1）求證：△ABC∽△PQC；          
（2）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)；
（4）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理的推論：直徑所對(duì)圓周角為直角可證得：∠ACB=90°，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明：△ABC∽△PQC；    
（2）由題意得，∠ACB=90°，由勾股定理得BC，AC，即可得出CD，PC，則△ACB∽△PCQ，

AC

PC

=

BC

CQ

，求得CQ；
（3）點(diǎn)P在

AB

上運(yùn)動(dòng)時(shí)，有CQ=

4

3

PC．當(dāng)PC最大時(shí)，CQ取到最大值，即可求得CQ最大值；
（4）根據(jù)已知得BE，再由三角函數(shù)得出PE，PC，從而求出CQ．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴△ABC∽△PQC；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，此時(shí)CP⊥直徑AB于D，
∴CP=2CD
∵AB=10，BC：CA=4：3，
∴BC=8，AC=6．
又∵AC?BC=AB?CD，
∴CD=4.8．
∴CP=2CD=9.6，
∵△ABC∽△PQC，
∴

BC

CQ

=

AC

PC

，
∴CQ=12.8；

（3）解：因?yàn)辄c(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)過程中，始終有△ABC∽△PQC
所以PC最大時(shí)，CQ取到最大值．
∴當(dāng)PC過圓心O，即PC 取最大值 10時(shí)，CQ最大，最大為

40

3

．

（4）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，
∵P是弧AB的中點(diǎn)，∠PCB=45°，
∴∠PCA=45°，
∴在Rt△CBE中，CE=BE=4

2

，易證：△ABC∽△PBE，∴PE=3

2

，
∴CP=7

2

∴CQ=7

2

×

4

3

=

28 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理和解直角三角形，是中考?jí)狠S題，難度偏大．