Question

23、如圖所示，⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點(diǎn)直線AD交⊙O于E．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接BE，可得△ABE∽△ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．
（2）成立，可證△AEB∽△ABD，可得AB²=AD•AE．

解答：證明：（1）連接BE，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∵∠E=∠C，
∴∠ABC=∠E．
∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB．
∴AB：AD=AE：AB．（2分）
∴AB²=AD•AE．（4分）

（2）成立．（5分）
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBD=∠DBE，∠ABE=∠ABC-∠EBD，∠D=∠ACB-∠CAD，
∵∠BAD為公共角，
∴△AEB∽△ABD．（7分）
∴AB：AD=AE：AB．
∴AB²=AD•AE．（8分）

點(diǎn)評(píng)：乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化成比例的形式，本題考查了相似三角形的判斷和性質(zhì)．