Question

如圖所示，⊙O的內接△ABC的AB邊過圓心O，CD切⊙O于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，CE⊥AB于點E，FE交⊙O于G．
解答下列問題：
（1）若BC=10，BE=8，求CD的值；
（2）求證：DF•DB=EG•EF．

Answer 1

分析：（1）根據切線的性質及圓周角定理等可得到CE=CD，因此只要求出CE就可求出CD，CE可通過勾股定理來求解．
（2）根據切割線定理及相似三角形的判定即可得到所求的結論．

解答：（1）解：∵AB為直徑，BD⊥CD
∴∠ABC+∠A=90°，∠CBD+∠BCD=90°
∵CD為⊙O切線
∴∠BCD=∠A
∴∠ABC=∠BCD
∵CD⊥BD，CE⊥BE
∴CE=CD
∴CE=

BC2-BE2

=

100-64

=6
∴CD=6

（2）證明：∵CD為切線，BD為割線
∴CD²=DF•DB①
∵∠ACB=90°，CE⊥AB
∴RT△ACE∽RT△CBE
∴CE²=EA•EB②
∵EG•EF=EA•EB③
由①②③及CD=CE得DF•DB=EG•EF．

點評：此題主要考查相似的判定，切割線定理，相交弦定理以及勾股定理的綜合運用．