Question

28、（1）如圖①已知AB是⊙O直徑，P是AB上一點(diǎn)（與A、B不重合），QP⊥AB，垂足為P，直線(xiàn)QA交⊙O于C點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作⊙O的切線(xiàn)交直線(xiàn)QP于點(diǎn)D，試證明：△CDQ是等腰三角形；
（2）對(duì)第（1）題，當(dāng)點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，其他條件不變；如圖②，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OC，則OC⊥CD．根據(jù)平角的定義，有∠DCQ+∠OCA=90°．又∠A+∠Q=90°，∠A=∠OCA，可得∠DCQ=∠Q．問(wèn)題得證．
（2）同理可證結(jié)論成立．

解答：證明：（1）連接OC．
∵DC是⊙O的切線(xiàn)，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
即：∠QCD+∠ACO=90°． （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A．
∴∠QCD+∠A=90°．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠A=90°．
∴∠Q=∠QCD，
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．                     （3分）

解：（2）成立．
連接OC．
∵DC是⊙O的切線(xiàn)，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，即：∠QCD+∠ACO=90°．               （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠OAC=∠QAP，
∴∠ACO=∠QAP．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠QAP=90°．
∴∠Q+∠ACO=90°，
∴∠Q=∠QCD．
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形．                     （3分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)和等腰三角形的判定，難度中等．
已知直線(xiàn)與圓相切于圓上一點(diǎn)，連接圓心和切點(diǎn)構(gòu)成垂直關(guān)系是常作的輔助線(xiàn)．