Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（5，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；
（3）若點(diǎn)P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，當(dāng)平行四邊形CBPQ的面積為30時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，
（2）根據(jù)平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)平行四邊形的面積，可得BD的長，根據(jù)等腰直角三角形，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得PQ的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，將B（5，0），C（0，5）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{5k+m=0}\\{m=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=5}\end{array}\right.$．
∴直線BC的解析式為y=-x+5．
將B（5，0），C（0，5）代入y=x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{25+5b+c=0}\\{c=5}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-6}\\{c=5}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式y(tǒng)=x²-6x+5；
（2）∵點(diǎn)M是拋物線在x軸下方圖象上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)M（m，m²-6m+5）．
∵點(diǎn)N是直線BC上與點(diǎn)M橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，
∴N（m，m+5）．
∵當(dāng)點(diǎn)M在拋物線在x軸下方時(shí)，N的縱坐標(biāo)總大于M的縱坐標(biāo)．
∴MN=-m+5-（m²-6m+5）=-m²+5m=-（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{4}$．
∴MN的最大值是$\frac{25}{4}$．
（3）如圖，
設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD，可求BC=5$\sqrt{2}$，
由平行四邊形CBPQ的面積為30可得，BC×BD=30，從而BD=3$\sqrt{2}$．
設(shè)直線PQ交x軸于E點(diǎn)，
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，△EBD為等腰直角三角形，BE=$\sqrt{2}$BD=6．
∵B（5，0），
∴E（-1，0）．
設(shè)直線PQ的解析式為y=-x+s，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
0=-（-1）+s，
解得s=-1，
從而直線PQ的解析式為y=-x-1．
聯(lián)立直線與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={x}^{2}-6x+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-3），（3，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考察了二次函數(shù)綜合題，（2）利用平行于y軸直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵；（3）利用等腰直角三角形得出E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．