Question

直線l經(jīng)過(guò)A（1，0）且與雙曲線y=

m

x

(x＞0)在第一象限交于點(diǎn)B（2，1），過(guò)點(diǎn)P（p+1，p-1）（p＞1）作x軸的平行線分別交于雙曲線y=

m

x

(x＞0)和y=-

m

x

（x＜0）于M，N兩點(diǎn)，
（1）求m的值及直線l的解析式；
（2）直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)E在直線y=-x-3上，且點(diǎn)E在第三象限，使得

CE

ED

=2，平移線段ED得線段HQ（點(diǎn)E與H對(duì)應(yīng)，點(diǎn)D與Q對(duì)應(yīng)），使得H、Q恰好都落在y=

m

x

的圖象上，求H、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）是否存在實(shí)數(shù)p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有滿足條件的p的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)B（2，1）代入y=

m

x

(x＞0)，即可求出m的值，從而得到反比例函數(shù)的解析式；將點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）分別代入y=kx+b，即可求出l的解析式；
（2）根據(jù)題意可得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)比E點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)比E點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1；根據(jù)平移的性質(zhì)可得H點(diǎn)的橫坐標(biāo)比Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，H點(diǎn)的縱坐標(biāo)比Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1，可設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（u，v），表示出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)H、Q恰好都落在y=

m

x

的圖象上，可得方程組求解即可；
（3）由于P點(diǎn)坐標(biāo)為（p+1，p-1），則點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，得到M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，計(jì)算出S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，當(dāng)p＞1時(shí)，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），利用S_△AMN=4S_△APM，得到4×

1

2

（p²-3）=2，然后解方程得到p₁=-

3

（不合題意，舍去），p₂=

3

．

解答：解：（1）由點(diǎn)B（2，1）在y=

m

x

上，有1=

m

2

，即m=2．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，
由點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
故所求直線l的解析式為y=x-1；

（2）∵直線y=-x-3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D，點(diǎn)E在直線y=-x-3上，且點(diǎn)E在第三象限，使得

CE

ED

=2，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)比E點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，D點(diǎn)的縱坐標(biāo)比E點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1；
∴H點(diǎn)的橫坐標(biāo)比Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，H點(diǎn)的縱坐標(biāo)比Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)小1，
設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為（u，v），Q點(diǎn)的坐標(biāo)（u+1，v-1），則

uv=2 (u+1)(v-1)=2

，
解得

u1=1 v1=2

，

u2=-2 v2=-1

（不合題意舍去），
則H點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，2），Q點(diǎn)的坐標(biāo)（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（p+1，p-1），MN∥x軸，
∴點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)都為p-1，
∴M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，
∴S_△AMN=

1

2

•

4

p-1

•（p-1）=2，
當(dāng)p＞1時(shí)，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×

1

2

（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合題意，舍去），p₂=2．
∴滿足條件的p的值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)綜合題，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，解方程組以及會(huì)計(jì)算三角形的面積的知識(shí)．注意點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式．