Question

已知邊長為5的正方形ABCD和邊長為2的正方形AEFG有一個公共點A，點G、E分別在線段AD、AB上．
（1）如圖①，連接DF、BF，顯然DF=BF，若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，判斷“在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段DF與BF的長始終相等．”是否正確，為什么？
（2）若將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接DG，在旋轉(zhuǎn)的過程中，你能否找到一條線段的長與線段DG的長始終相等？并以圖②為例說明理由．

Answer 1

分析：（1）不相等，以旋轉(zhuǎn)45°為例，分別求出DF、BF的長度，從而得解；
（2）連接BE，根據(jù)正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角推出∠DAG=∠BAE，然后利用邊角邊證明△ADG與△ABE全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可證明BE=DG．

解答：解：（1）DF≠BF．
理由如下：如圖①，以旋轉(zhuǎn)45°為例，
∵正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為5，2，
∴AF

2

AE=2

2

，
∴DF=

AD2+AF2

=

52+(2 2 )2

=

33

，
BF=AB-AF=5-2

2

，
∴DF≠BF；

（2）BE與DG始終相等．
理由如下：如圖②，連接BE，
在正方形ABCD與正方形AEFG中，AD=AB，AG=AE，
∠DAG+∠BAG=90°，∠BAE+∠BAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE，
在△ADG與△ABE中，

AD=AB ∠DAG=∠BAE AG=AE

，
∴△ADG≌△ABE（SAS），
∴BE=DG，
即旋轉(zhuǎn)過程中BE與DG的長始終相等．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小與形狀找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．