如圖，拋物線y=a（x+1）（x-5）與x軸的交點(diǎn)為M，N．直線y=kx+b與x軸交于P（-2，0），與y軸交于C．若A，B兩點(diǎn)在直線y=kx+b上，且AO=BO=
2
，AO⊥BO．D為線段MN的中點(diǎn)，OH為Rt△OPC斜邊上的高．
（1）OH的長度等于
 
；k=
 
，b=
 
；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點(diǎn)E，滿足以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點(diǎn)（簡要說明理由）；并進(jìn)一步探索對符合條件的每一個精英家教網(wǎng)E點(diǎn)，直線NE與直線AB的交點(diǎn)G是否總滿足PB•PG＜10
2
，寫出探索過程．
分析：（1）由已知在等腰直角三角形中解出OH的長，因直線過頂點(diǎn)和OH長等于點(diǎn)到直線距離，聯(lián)立方程求出k，b；
（2）思維要嚴(yán)密，分兩類情況：①若DN為等腰直角三角形的直角邊；②若DN為等腰直角三角形的斜邊．
根據(jù)相似的比例關(guān)系和幾何關(guān)系，作適合的輔助線，構(gòu)造垂直從而驗(yàn)證相似比例關(guān)系是否成立．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）∵直線y=kx+b過P（-2，0）?-2k+b=0…①
∵AO=BO=
2
，AO⊥BO?三角形AOB為等腰直角三角形，
AB=
OA2+OB2
=2?∠OAB=45°?OH=OA×sin45°=1，
∵OH=
|b|
1+k2
=1…②
由①②方程解得：k=
3
3
，b=
2
3
3
，OH=1．

（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使拋物線y=a（x+1）（x-5）上有一點(diǎn)E，滿足以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角△AOB相似．
∴以D，N，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以DN為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以DN為斜邊的等腰直角三角形．
①若DN為等腰直角三角形的直角邊，則ED⊥DN．
在拋物線y=a（x+1）（x-5）中，令y=0，解得x=-1或5，則得：M（-1，0），N（5，0）．
∴D（2，0），
∴ED=DN=3．
∴E的坐標(biāo)為（2，3）．
把E（2，3）代入拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-5），得：a（2+1）（2-5）=3，解得a=-
1
3
．
∴拋物線解析式為y=-
1
3
（x+1）（x-5）．
即y=-
1
3
x2+
4
3
x+
5
3
．

②若DN為等腰直角三角形的斜邊，
則DE⊥EN，DE=EN．
∴E的坐標(biāo)為（3.5，1.5）．
把E（3.5，1.5）代入拋物線解析式y(tǒng)=a（x+1）（x-5）得：a（3.5+1）（3.5-5）=1.5，解得a=-
2
9
．
∴拋物線解析式為y=-
2
9
（x+1）（x-5），
即y=-
2
9
x2+
8
9
x+
10
9
．
當(dāng)a=-
1
3
時，在拋物線y=-
1
3
x2+
4
3
x+
5
3
上存在一點(diǎn)E（2，3）滿足條件，
如果此拋物線上還有滿足條件的E點(diǎn)，不妨設(shè)為E′點(diǎn)，那么只有可能△DE′N是以DN為斜邊的等腰直角三角形，
由此得E′（3.5，1.5），顯然E′不在拋物線．
y=-
1
3
x2+
4
3
x+
5
3
上，
因此拋物線y=-
1
3
x2+
4
3
x+
5
3
上沒有符合條件的其他的E點(diǎn)．
當(dāng)a=-
2
9
時，同理可得拋物線y=-
2
9
x2+
8
9
x+
10
9
上沒有符合條件的其他的E點(diǎn)．
當(dāng)E的坐標(biāo)為（2，3），對應(yīng)的拋物線解析式為y=-
1
3
x2+
4
3
x+
5
3
時，
∵△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，
∴∠GNP=∠PBO=45°．
又∵∠NPG=∠BPO，
∴△NPG∽△BPO．
∴
PG
PO
=
PN
PB
，
∴PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10
2
．
當(dāng)E的坐標(biāo)為（3.5，1.5），解得對應(yīng)的拋物線解析式為y=-
2
9
x2+
8
9
x+
10
9
時，
同理可證得：PB•PG=PO•PN=2×7=14，
∴總滿足PB•PG＜10
2
．
點(diǎn)評：此題考查在直角三角形中解題技巧，通過解方程組來求拋物線解析式，第二問探究三角形相似問題，考查思維的嚴(yán)密性，不要漏掉其它情況，學(xué)會分類討論．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個點(diǎn)中，四個點(diǎn)可以連接成一個四邊形，請你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個，寫錯、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對稱軸x=1上運(yùn)動，請你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時，x的取值范圍是（　�。�
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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