如圖1,已知點(diǎn)A1,A2,A3是拋物線y=
1
2
x2上的三點(diǎn),線段A1B1,A2B2,A3B3都垂直于x軸,垂足分別為點(diǎn)B1,B2,B3,延長線段B2A2交線段A1A3于點(diǎn)C.
(1)在圖(1)中,若點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,求線段CA2的長;
(2)若將拋物線改為y=
1
2
x2-x+1,如圖2,點(diǎn)A1,A精英家教網(wǎng)2,A3的橫坐標(biāo)依次為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.
分析:(1)已知了A1,A2,A3三點(diǎn)的橫坐標(biāo),可代入拋物線的解析式中求出A1B1,A2B2,A3B3的長,由于A1,A2,A3的橫坐標(biāo)是連續(xù)的三個(gè)整數(shù),那么可用中位線定理來求出CB2的長,由此可根據(jù)CA2=CB2-A2B2,求出CA2的長.
(2)可先設(shè)出A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依,由于這三個(gè)橫坐標(biāo)也是連續(xù)的整數(shù),因此可按照(1)的方法進(jìn)行求解.
解答:解:(1)∵點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,
∴A1B1=
1
2
×1=
1
2
,A2B2=
1
2
×4=2,A3B3=
1
2
×9=
9
2
;
由于A1B1∥A2B2∥A3B3,且B1B2=B2B3,
∴CB2=
1
2
(A1B1+A3B3)=
5
2
,
∴CA2=CB2-A2B2=
5
2
-2=
1
2


(2)設(shè):點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為n-1,n,n+1,
∴A1B1=
1
2
(n-1)2-(n-1)+1,A2B2=
1
2
n2-n+1,A3B3=
1
2
(n+1)2-(n+1)+1;
由于A1B1∥A2B2∥A3B3,且B1B2=B2B3,
∴CB2=
1
2
(A1B1+A3B3)=
1
2
[
1
2
(n-1)2-(n-1)+1+
1
2
(n+1)2-(n+1)+1]=
1
2
n2-n+
3
2
,
∴CA2=CB2-A2B2=
1
2
n2-n+
3
2
-(
1
2
n2-n+1)=
1
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了中位線定理,二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),屬于猜想類試題,解法不唯一,例如本題求CA2長還可以用B2點(diǎn)處兩函數(shù)的差來求.
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(1)在圖(1)中,若點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,求線段CA2的長;
(2)若將拋物線改為y=x2-x+1,如圖2,點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.

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(2)若將拋物線改為y=x2-x+1,如圖2,點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.

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(2)若將拋物線改為y=x2-x+1,如圖2,點(diǎn)A1,A2,A3的橫坐標(biāo)依次為三個(gè)連續(xù)整數(shù),其他條件不變,求線段CA2的長.

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