Question

（2007•上海模擬）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，P是邊AB上一動點，PE⊥CD，垂足為點E，PM⊥AB，交邊CD于點M，AD=1，AB=5，CD=4．
（1）求證：∠PME=∠B；
（2）設A、P兩點的距離為x，EM=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）連接PD，當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）在四邊形BCMP中，求出∠B+∠CMP=180°，又知∠PME+∠CMP=180°，于是證明出∠PME=∠B；
（2）作AH⊥BC于H，交PE于點F，首先證明出AF⊥PE，由于PF∥BH，列出比例等式，用x表示出PF和PE，再由△PEM∽△AHB列出y與x的關系式；
（3）分類討論，當PM=PD和PM=DM分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出x的值，進而求出AP的值．

解答：（1）證明：證法一：在四邊形BCMP中，
∵∠B+∠C+∠CMP+∠MPB=360°，∠C=∠MPB=90°
∴∠B+∠CMP=180°． 
而∠PME+∠CMP=180°，
∴∠PME=∠B． 
證法二：∵DC⊥BC，PM⊥AB，且∠PME與∠B都為銳角，
∴∠PME=∠B．
（2）解：作AH⊥BC于H，交PE于點F．
∵PE⊥CD，BC⊥CD，
∴PE∥BC．
∴AF⊥PE．
∵AH=CD=4，AB=5，
∴BH=3．
∵AD=1，
∴EF=1．
∵PF∥BH，
∴

PF

AP

=

BH

AB

，
∴PF=

3

5

x，
∴PE=

3

5

x+1．
又∵∠PME=∠B，∠PEM=∠AHB=90°，
∴△PEM∽△AHB． 
∴

EM

PE

=

BH

AH

，即

y

3 5 x+1

=

3

4

．  
∴y=

9

20

x+

3

4

．
∵PE=

3

5

x+1≤BC=4，
∴x≤

13

5

，
定義域為0≤x≤

13

5

．  
（3）解：（�。┊擯M=PD時，DE=EM．

4

5

x=

9

20

x+

3

4

．
解得x=

15

7

，即AP=

15

7

．  
（ⅱ）當PM=DM時，

5

4

(

3

5

x+1)=

4

5

x+

9

20

x+

3

4

． 
解得x=1，即AP=1． 
綜上所述，當△PDM是以PM為腰的等腰三角形時，AP=

15

7

或AP=1．

點評：本題主要考查相似形的綜合題，本題涉及了線段成比例的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定的知識，此題綜合性較強，難度較大．