Question

如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB為垂直于底邊的腰，AD=1，BC=2，AB=3，點(diǎn)E為CD上異于C，D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為F，△ADE，△AEB，△BCE的面積分別為S₁，S₂，S₃．

（1）設(shè)AF=x，試用x表示S₁與S₃的乘積S₁S₃，并求S₁S₃的最大值；
（2）設(shè)=t，試用t表示EF的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S₂²=4S₁S₃．

Answer 1

解：（1）∵S₁=AD•AF=x，S₃=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，
∴（0＜x＜3）。
∴當(dāng)x= 時(shí)，S₁S₃的最大值為。
（2）如圖，作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點(diǎn)N，

∵=t，∴AF=tFB。
∵△DNE∽△DMC ，BM=MC=AD=1，
∴�！郚E=，
∴EF=FN+NE=1+。
（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，∴FB=�！郃F=tFB=。
∴S₁=AD•AF=×=，S₃=BC•FB=×2×=，
S₂=AB•FE=×3×=。
∴S₁S₃=，S₂²=。
∴=4×，即4t²﹣4t+1=0，解得t=。
∴當(dāng)t=時(shí)，S₂²=4S₁S₃。

試題分析：（1）直接根據(jù)三角形的面積公式解答即可。
（2）作DM⊥BC，垂足為M，DM與EF交與點(diǎn)N，根據(jù)=t，可知AF=tFB，再由△DNE∽△DMC 和BM=MC=AD=1可得出，所以NE=，根據(jù)EF=FN+NE即可得出結(jié)論。
（3）根據(jù)AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=，故可得出AF=tFB=，根據(jù)三角形的面積公式可用t表示出S₁，S₃，S₂，由s₂²=4S₁S₃．即可得出t的值。